Home

16. 4. 2001

Pohyb Trojanů

Trojané jsou skupina planetek, které se nacházejí v okolí libračního centra L4 soustavy Slunce - Jupiter.

Librační centrum (též Lagrangeův bod) je místo, ve kterém se vyrovnává gravitační působení centrálního a obíhajícího tělesa. Tento bod má pevnou polohu vůči oběma tělesům (L4 leží ve vrcholu rovnostranného trojúhelníku, v jehož dalších vrcholech leží Slunce a Jupiter, a v oběhu kolem Slunce předchází Jupiter), takže tělísko do něj umístěné vykonává také oběžný pohyb, síly na něj působící jsou tedy gravitační a odstředivá. Jejich výslednice je nulová.

Při popisu pohybu v blízkosti Lagrangeova bodu v inerciální soustavě, jejímž počátkem je těžiště si vystačíme s gravitačním zákonem.

Chceme-li však počítat pohyb tělesa v soustavě pevně spojené se Sluncem a Jupiterem, která se otáčí okolo těžiště spolu s Jupiterem, vstupují do problému rovněž síly odstředivá a Couriolisova. Výsledkem je poměrně složitá dráha (pokud pohyb nezačíná z klidu vůči libračnímu centru), kterou si můžeme ukázat na následujících obrázcích.

Nejprve uvažujme případy, kdy se oběžná rychlost tělíska příliš neliší od oběžné rychlosti Jupitera (tedy je malá v rotující soustavě).

  • Pohyb vždy začíná v Lagrangeově bodě L4 a jeho počáteční rychlost vůči bodu L4 dv je ve směru tečném k oběhu. Je uvedena vždy v horní části obrázku v jednotkách astronomická jednotka za den (oběžná rychlost Jupitera je 0,00754 AU/d).
  • Rotace soustavy je proti směru hodinových ručiček.
  • Výpočetní čas je roven dvaceti oběhům Jupitera, tedy 20 × 11,862 let.
  • Slunce je znázorněno žlutým kroužkem a Jupiter černým.
  • Všechny grafy jsou v soustavě rotující s obíhajícím Jupiterem (Slunce, Jupiter a Lagrangeův bod v ní zaujímají pevné polohy).


(tělísko nesetrvává přesně v libračním bodě kvůli nepřesnosti v počátečních podmínkách a způsobu numerického výpočtu)

Vysvětlivky: každá "klička" na dráze odpovídá jednomu oběhu kolem Slunce. Protože tělísko se pohybuje zhruba po elipse (ne příliš deformované působením Jupitera), v dané soustavě těleso chvíli otáčení soustavy předbíhá a chvíli se za ním opožďuje, což v kombinaci s měnící se vzdáleností mezi perihelem a afeliem vytváří tvar kličky.

Nejnázornějším vysvětlením by mohla být tato animace. Jupiter, tělísko i librační centra obíhají okolo těžiště soustavy Jupiter-Slunce a spolu s Jupiterem se otáčí souřadná soustava, ve které jsou zobrazeny všechny grafy na této stránce:


Protože na pomalejším počítači se tato animace zobrazuje dost trhaně, můžete se podívat i na jednotlivé obrázky, ze kterých byla vytvořena.

  • Jestliže počáteční rychlost tělíska vůči libračnímu centru nezvyšujeme, ale naopak snižujeme, je výsledný tvar dráhy velmi podobný, jak vidíme na tomto obrázku:


  • Při dalším zvyšování rychlosti tělísko začne oscilovat mezi Lagrangeovým bodem L4 a L5 (ten leží rovněž ve vrcholu rovnostranného trojúhelníku Slunce - Jupiter - L5, ale za pohybem Jupitera se opožďuje):


  • Zvyšujme dále rychlost. Těleso se pak dostává stále blíže k Jupiteru a může dojít k jeho zachycení na oběžné dráze u Jupitera:


(v tomto případě došlo k jeho vyvržení ze Sluneční soustavy. Příčina je nejspíše numerického charakteru - tělísko se dostalo do těsné blízkosti Jupiteru a při daném výpočetním kroku chyba výpočtu velmi narostla)